Next: Функции и переменные пакета contrib_ode, Previous: Пакет contrib_ode, Up: Пакет contrib_ode [Contents][Index]
Стандартная процедура Maxima для решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ) ode2
решает элементарные линейные ОДУ первого и второго порядка.
Функция contrib_ode расширяет ode2 дополнительными методами для линейных
и нелинейных ОДУ первого порядка и линейных однородных ОДУ второго порядка.
Даная программа находится в состоянии развития и форма вызова функций
может измениться в последующих релизах. После стабилизации код может
быть перемещен из директории contrib и интегрирован в ядро Maxima.
Для использования пакет должен быть загружен с помощью команды load("contrib_ode").
Функция contrib_ode вызывается также, как ode2.
Она имеет три аргумента: ОДУ (если правая часть уравнения равна 0, то достаточно задать
только левые части уравнений), зависимая переменная и независимая переменная.
В случае успеха возвращается список решений.
Представление решений отличается от такового для ode2.
Т.к. нелинейные уравнения могут иметь множественные решения., то
contrib_ode возвращает список решений. Решение может иметь
несколько различных форм:
%t
%u.
%c представляет константу интегрирования для уравнений первого порядка.
%k1 и %k2 – константы интегрирования для уравнений второго порядка.
Если contrib_ode не может получить решение, то возвращается false,
возможно, после печати сообщения об ошибке.
Необходимо возвращать список решений, т.к. нелинейные ОДУ первого порядка могут иметь множественные решения. Например:
(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
dy 2 dy
(%o2) x (--) - (x y + 1) -- + y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
x
(%o3) [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;
(%o4) factor
Нелинейные ОДУ могут иметь особые решения, не имеющие констант интегрирования, как второе решение в следующем примере:
(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
dy 2 dy
(%o2) (--) + x -- - y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
2
2 x
(%o3) [y = %c x + %c , y = - --]
4
(%i4) method;
(%o4) clairault
Следующее ОДУ имеет два параметрических решение в терминах переменной
%t. Из этих параметрических решений можно получить явные решения.
(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
dy 2
(%o2) -- = (y + x)
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)],
[x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;
(%o4) lagrange
Следующий пример (Камке 1.112) демонстрирует неявное решение.
(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) assume(x>0,y>0);
(%o2) [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;
dy 2 2
(%o3) x -- - x sqrt(y + x ) - y
dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);
y
(%o4) [x - asinh(-) = %c]
x
(%i5) method;
(%o5) lie
Следующее уравнение Рикатти преобразуется в линейное ОДУ второго порядка
для переменной %u. Maxima не может решить новое уравнение, и оно
возвращается нерешенным.
(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;
2 dy 2 2 n
(%o2) x -- = c x y + b x + a
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
d%u
--- 2
dx 2 n - 2 a d %u
(%o3) [[y = - ----, %u c (b x + --) + ---- c = 0]]
%u c 2 2
x dx
(%i4) method;
(%o4) riccati
Для ОДУ первого порядка contrib_ode вызывает ode2.
Затем применяются методы: факторизации, Клеро, Лагранжа, Рикатти,
Абеля и метод симметрий Ли. Метод Ли не применяется к уравнениям Абеля,
если метод Абеля не дает результата, но применяется если метод Рикатти
возвращает нерешенное ОДУ второго порядка.
Для ОДУ второго порядка contrib_ode вызывает ode2, а затем odelin.
Если выполнена команда put('contrib_ode,true,'verbose), то
печатается подробная отладочная информация.
Next: Функции и переменные пакета contrib_ode, Previous: Пакет contrib_ode, Up: Пакет contrib_ode [Contents][Index]